بسم اللہ الرحمٰن الرحیم

:الجواب وباللہ التوفیق

In the case in question, three divorces had already happened to your mother at the first time your father pronounced three divorces (talaqs), and both the husband and wife were forbidden for each other at the same time. It was not permissible for them to live with each other. Since many years have passed since this event, the waiting period (Iddah) has also passed long time ago, therefore, it is mandatory that they immediately separate themselves from each other. They must repent deeply and seek Allah’s forgiveness for the sins they both have incurred by living together as a husband and wife. 

For your mother to legally reunite with her husband, canl only be through Halalah. For that, your mother shall marry another man and then accidentally her new husband divorces her or dies, only then she can marry her ex-husband.

فَاِنْ طَلَّقَہَا فَلَا تَحِلُّ لَہُ مِنْ بَعْدُ حَتَّی تَنْکِحَ زَوْجًا غَیْرَہُ۔ [البقرہ:۲۳۰)

عن سہل بن سعدؓ، في ہذا الخبرقال: فطلقہا ثلاث تطلیقات عند رسول الله صلي  اللہ  علیہ وسلم، فأنفذہ رسول الله صلي  اللہ  علیہ وسلم۔ (ابو داؤد: شریف، کتاب الطلاق:۲۲۵۰، بخاري شریف، کتاب الطلاق، باب من أجاز الطلاق الثلاث:۵۰۶۰،۔ صحیح مسلم، کتاب اللعان، رقم:۱۴۹۲، سنن النسائي، رقم:۳۴۳۱)

وقال الحسنؒ: لولا أني سمعت أبي یحدث عن جدي النبي صلی  اللہ  علیہ وسلم أنہ قال: من طلق امرأتہ ثلاثاً لم تحل لہ حتی تنکح زوجاً غیرہ لراجعتہا۔ (السنن الکبریٰ للبیہقي ::۱۴۸۵۵)

عن عائشۃؓ أن رجلاً طلق امرأتہ ثلاثاً، فتزوجت فطلق، فسئل النبي صلی  اللہ  علیہ وسلم، أ تحل للأول؟  قال: لا حتی یذوق عسیلتہا کما ذاق الأول۔ (بخاري شریف، کتاب الطلاق، باب من اجاز الطلاق الثلاث، النسخۃ الہندیۃ۲/۷۹۱، رقم: ۵۰۶۲، ف: ۵۲۶۱)

عن عائشۃؓ، أن رجلاً طلق امرأتہ ثلاثاً، فتزوجت زوجاً، فطلقہا قبل أن یمسہا، فسئل رسول الله صلي  اللہ  علیہ وسلم، أ تحل للأول؟ قال: لا حتی یذوق عسیلتہا کما ذاق الأول۔ (نسائي شریف، کتاب الطلاق، رقم:۳۴۴۰)

أتی برجل قد طلق امرأتہ ثلاثاً في مجلس، أوجعہ ضرباً وفرق بینہما۔ (مصنف ابن أبي شیبۃ: رقم:۱۸۰۸۹)

ویقع طلاق من غضب خلافا لابن القیم، وہٰذا الموقف عندنا۔ (شامي ۴؍۴۵۲ زکریا، ۳؍۲۴۴ کراچی)

وإن کان الطلاق ثلاثاً في الحرۃ، وثنتین في الأمۃ لم تحل لہ حتی تنکح زوجاً غیرہ نکاحاً صحیحاً ویدخل بہا، ثم یطلقہا، أو یموت عنہا۔ کذا في الہدایۃ۔ (عالمگیري، ۱/۴۷۳،)

فقط واللہ اعلم بالصواب